deret penjumlahan dan perkalian dengan suku 1 dan x

dulu aku pernah ikut lomba olimpiade matematika waktu SMA. aku ikut babak penyisihan. soalnya sedikit tapi ternyata gak lulus. habis satu soal saja aku nggak bisa kerjakan. tapi aku masih ingat soalnya. soalnya masih kepikiran sampai sekarang. aku terus memikirkannya. alhamdulillah sekarang ketemu jawabannya. aku akan bahas di sini.
soalnya seperti ini:buktikan bahwa:
(1+x)(1+x²)(1+x⁴)(1+x⁸)...(1+x⁵¹²) = 1 + x + x² + x³ + .... + x¹⁰²³
aku jadi pusing lihat akhirnya. tapi aku mulai coba dari skala kecil dulu.
(1+x)(1+x²) = 1 + x + x² + x³
(1+x)(1+x²)(1+x⁴) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵
+ x⁶ + x⁷
kalau 3 suku terbukti maka kemungkinan sampai semua suku terbukti. tapi aku masih belum yakin. kenapa? apa nggak ada kemungkinan nanti nabrak? misalnya nanti ada suku x⁴⁰ + x⁴⁰ + ... atau ada suku yang hilang seperti ... + x³⁸ + x⁴⁰ + ... atau ada koefisien ganda seperti 2x²¹ + ...
setelah aku analisis, maka terlihat orde atau pangkat x dari tanda kurung berikutnya selalu lebih besar daripada jumlah orde-orde x sebelumnya.
misalnya x dalam tanda kurung terakhir 16, maka orde x sebelumnya 15. jadi perkalian antar kurung sebelumnya maksimal sampai 15, lalu nanti memulai suku x berikutnya sampai 31.
aku jadi ingin menemukan pola umum persamaan ini. setelah diteliti orde dari x dalam perkalian tanda kurung mengikuti perpangkatan dari 2. polanya U_n = 2^n-1 sedangkan pada deretnya berisi barisan bilangan asli U_n = n.
soalnya menjadi:
(1+x)(1+x²)(1+x⁴)(1+x⁸) ... (1+x^2n-1) = 1 + x + x² + x³ + .... + x^2n-1
seperti jumlah deret perpangkatan 2, di mana 1 + 2 + 4 + 8 + ... 2^n-1 = 2ⁿ-1kita buktikan melalui induksi matematika.
pertama, buktikan dulu rumus di atas pada n = 1
sebelum itu suku pada deret kurung harus dirumuskan dulu. kalau dirumuskan jadi (1+x^{2n-1)
jika n = 1, (1+x2n-1) = (1+x21-1) = (1+x20) = (1+x1) = 1 + x. terbukti.
kedua, andaikan n = k, maka persamaannya menjadi} 

(1+x)(1+x²)(1+x⁴)(1+x⁸) ... (1+x^2k-1) = 1 + x + x² + x³ + .... + x^2k-1
kita misalkan hasilnya P.

ketiga, yang rumit, buktikan rumus di atas berlaku juga untuk n = k+1
jadinya:

(1+x)(1+x²)(1+x⁴)(1+x⁸) ... (1+x^2k-1)(1+x^2(k+1)-1) = 1 + x + x² + x³ + .... + x^2k-1 + ... + x^2(k+1)-1

suku terakhir ruas kiri (1+x^2(k+1)-1) = (1+x^2.2(k)-1)
suku terakhir ruas kanan x^2(k+1)-1 = x^2.2(k)-1
persamaannya menjadi:

(1+x)(1+x²)(1+x⁴)(1+x⁸) ... (1+x^2k-1)(1+x^2(k+1)-1) = 1 + x + x² + x³ + .... + x^2k-1 + ... + x^2(k+1)-1

P(1+x^2(k+1)-1) = P(1+x^2.2(k)-1) = 1 + x + x² + x³ + .... + x^2k-1 + ... + x^2(k+1)-1 = P + x^2k + x^2k+1 + x^2k+2+ ... + x^2.2k-1

biar lebih ringkas aku tuliskan saja ruas kanan setelah P
x^2k + x^2k+1 + x^2k+2 + ... + x^2.2k-1 = x^2k.1 + x^2k.x + x^2k.x² + x^2k.x³ + ... + x^2k.x^2k-1

x^2k(1 + x + x² + x³ + .... + x^2k-1)
= x^2k.(P)
= x^2k.P
keseluruhan ruasnya:
P(1+ x^2k) = P + P.x^2k = P(1+ x^2k)
jadi rumus di atas terbukti untuk semua bilangan asli. tinggal mengganti n dengan 10. karena 512 = 2^{10 - 1}, sesuai rumus U_n = 2ⁿ-1, maka jumlahnya = 2¹⁰ - 1 = 1024 - 1 = 1023
(1+x)(1+x²)(1+x⁴)(1+x⁸)...(1+x⁵¹²) = 1 + x + x² + x³ + .... + x¹⁰²³

terbukti deh. capek deh ngetik banyak. semoga berguna

sebagai tambahan aku buatkan versi kerennya, yaitu rumus umumnya:

 

paham? kelihatannya keren, tapi mumet ya? aku juga.