catur beras

kalian pernah lihat papan catur?

pasti tahu dong. yang hitam putih itu kan? yang berisi 8 petak mendatar dan 8 petak tegak, jadi ada 8 x 8 petak = 64 petak. sekarang kita akan melakukan permainan. permainannya begini:

coba isikan 1 butir beras pada petak pertama, 2 butir beras pada petak kedua, 4 butir beras pada petak ketiga. 8 butir beras pada petak keempat. begitu seterusnya. jadi kotak berikutnya diisi dengan beras sebanyak 2 x lipat kotak sebelumnya. coba tebak ada berapa butir beras pada petak terakhir? lalu ada berapa butir beras semuanya?

kalau kalian jawab hanya 128, kalian salah besar. sebab hasilnya jauh lebih besar bahkan kalkulator komputer kita tidak akan bisa menghitungnya, melainkan dengan hasil tidak persis. bisa-bisa nanti error atau hasilnya dibulatkan menjadi notasi ilmiah, jadi hasilnya kurang akurat.

lalu bagaimana menghitungnya?

hitungannya seperti ini:

petak	Jumlah beras
1	1
2	2
3	4
4	8
5	16
6	32
7	64
8	128

baris pertama selesai. kemudian baris kedua ada 8 petak. maka angka terakhir baris pertama dikalikan 2, 4, 8 dan seterusnya. biasanya dulu aku menghitung 2¹, 2², 2³ ... semua itu bikin capek dan pusing. sekarang aku akan buatkan cara cepat.

kita sudah tahu angka terakhir baris pertama adalah 128, maka pada baris kedua, petak pertama = 128 x 2, petak kedua = 128 x 4, petak ketiga = 128 x 8. maka pada petak terakhir baris kedua = 128 x 256 = 32.768 = 2¹⁵.

128 = 2⁷. 256 = 2⁸.

maka akhir baris ketiga = 128 x 256 x 256. = 2⁷ x 2⁸ x 2⁸ = 8.388.608

akhir baris keempat = 128 x 256 x 256 x 256. 2⁷ x 2⁸ x 2⁸ x 2⁸ =  2147483648.

mengikuti aturan eksponen matematika, walau sebenarnya sudah jelas sih: a^b x a^c = a^{(b +c)}

jadi akhir baris ketiga = 2⁷ x 2⁸ x 2⁸ = 2^{(7 + 8 + 8)} = 2²³.

akhir baris keempat = ⁷ x 2⁸ x 2⁸ x 2⁸ = 2^{((7 + 8 + 8 + 8)} = 2³¹ = 2^{(8[n-1] -)}.  n adalah baris pada papan catur.

lalu pada akhir baris kedelapan, pada petak keempat ada berapa butir berasnya?

secara sederhana sebenarnya nilainya sudah bisa ditebak yaitu 2⁶³. lalu mengikuti rumus deret geometri, maka jumlah beras semua petak adalah 2⁶⁴ - 1.

tinggal, berapakah angka itu?

untung saja sudah ada beberapa orang yang menghitungnya dan mempostingnya di internet. jadi kita tinggal tanya google. ketik catur beras. enter. nanti akan ditampilkan dokumen yang menampilkan hitungan itu beserta hasilnya. ada bonusnya juga, yaitu ada kisah di balik permainan catur beras ini. versinya ada beberapa macam. ada yang dari persia, india, ada yang dari cina. nanti kalian bisa lihat sendiri.

kembali ke angkanya, berapakah angka itu?

ini dia:  jumlah seluruh beras ke-64 petak papan catur = 2⁶⁴ - 1 =  18.446.744.073.709.551.615 butir.

Kalau 1 kg beras kira-kira 54.000 butir banyaknya beras adalah = 340 milyar ton beras.
Kalau 1 ton beras harganya 10 juta, maka perlu disediakan uang 3,4 juta-trilyun rupiah.
kalian percaya angka besar itu? atau masih sangsi? kalau belum percaya gimana kalau kita buktikan?

cara membuktikannya bukan dengan menghitung setiap petak, tapi cukup dengan menghitung setiap baris. jadi 2⁶⁴ - 1 = (2⁸)⁸ - 1 = (256)⁸ - 1 = (65.536)⁴ - 1.

berikutnya: 65.536 x 65.536 x 65.536 x 65.536 - 1 = 4.294.967.296 x 4.294.967.296 - 1 = 18.446.744.073.709.551.616 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615.

by the way, catur beras ini pernah masuk komik lo! tau nggak? dulu waktu aku SMP aku baca komik donald bebek. tokohnya paman gober. dia punya papan ajaib. kalau di petak pertama dimasukkan 1 butir beras, secara ajaib pada petak sebelahnya tercipta butir beras sebanyak dua kali lipat petak sebelumnya sampai semua petak terisi. alhasil donald cs gak pernah kelaparan. kalau kalaparan tinggal ambil 1 butir beras lalu taruh di papan ajaib itu. sampai banjir beras jadinya. kalau kalian pernah baca komik donald bebek bagian cerita itu kasih tahu, ya? nanti bisa sharing.

makasih buat perhatiannya. selamat malam.