di sekolah kita sudah diajarkan nilai konstanta trigonometri sudut-sudut istimewa. sudut-sudut istimewa itu di antaranya 0º, 30º, 45º, 60º dan 90º. sudut-sudut lain adalah pengembangan dari sudut-sudut di atas karena berada di kuadran lain. nilainya bisa menjadi negatif atau berkebalikan, tergantung sudut dan nilai konstanta trigonometri yang dicari.
sudut-sudut di atas disebut sudut istimewa karena memiliki nilai konstanta trigonometri yang sederhana. misalnya sin30º = 1/2. ada juga sudah termasuk bilangan irasional, sehingga tidak sederhana karena kalau ditulis desimal tidak ada habisnya dan tidak ada polanya. meskipun begitu tetap disebut sederhana karena bisa dituliskan dalam pangkat bilangan asli yang kecil. misalnya sin 45º =0,707... = √2 /2.
aku jadi ingin membuat sudut istimewa sendiri. aku ingin membuat tabel trigonometri yang berisi nilai-nilai konstanta trigonometri semua sudut tapi tidak dalam bentuk desimal, melainkan dalam bentuk operasi akar seperti sudut-sudut istimewa di atas. dengan begitu kalau kita ingin mencari nilai konstanta trigonometri sudut tertentu dalam banyak angka di belakang koma tertentu, maka kita menghitung angka operasi akar dalam jumlah tertentu tersebut cara ini bisa dikembangkan sampai jumlah angka di belakang koma besar. misalnya sin 45º sampai 10 angka dibelakang koma = tabel trigonometri desimal tidak bisa karena biasanya berisi 3 atau 4 angka di belakang koma. kalau lebih tidak bisa. karena kita tidak tahu kelanjutannya dan tidak tahu polanya. misalnya sin 60º = 0,866. bagaimana cara mencari kelanjutannya?
oleh karena itu aku ingin mencari nilai-sudut konstanta trigonometri sudut yang lain. pertama, sudut 18º. kenapa? karena yang aku temukan nilainya yang paling mudah adalah sudut ini. nanti aku cari yang lain lagi. baiklah. begini caranya:
cos 18º = sin 72º
cos 18º = 2. sin 36º . cos 36º
cos 18º = 2. 2. sin 18º . cos 18º. cos 36º
1 = 4. sin 18º. cos 36º
1/4 = sin 18º. cos 36º
1/4 - sin 18º. (1 - 2 sin2 18º) = 0
1/4 - sin 18º +2 sin3 18º - 1/4 = 0
sin3 18º -1/2. sin 18º + 1/8 = 0
misalkan sin 18º = x
x3 - 1/2. x + 1/8 = 0
persamaan ini memiliki salah satu faktor yaitu 1/2. buktinya: jika 1/2 dimasukkan ke dalam persamaan di atas : = f(1/2) = (1/2)3 - 1/2 . (1/2) + 1/8 = 0
dengan pembagian polinom dihasilkan: (x3 - 1/2. x + 1/8)/ (x - 1/2) = x2 + 1/2. x + 1/8
persamaan ini persamaan kuadrat. jadi mudah penyelesaiannya. dengan rumus abc sampailah hasilnya
x1 = (-1 + √5)/4 = (√5 - 1)/4
x2 = (-1 -√5)/4 = -(√5 + 1)/4
x = sin 18°. 18° berada di kuadran 1. jadi nilai sudutnya semestinya positif. oleh karena itu jawaban yang masuk adalah x1. x2 bernilai negatif. jadi jawabannya sin 18° = (√5 - 1)/4.
melalui kalkulator desimal diketahui :
sin 18° = 0.30901699437
dan hasil dari (√5 - 1)/4 = . angka terakhir adalah pembulatan dari 37. bagaimana menurut kalian?
nilai selanjutnya berupa cos 18° dan tan 18° bisa dengan mudah dikerjakan dengan identitas trigonometri. aku tidak perlu tuliskan. aku serahkan pada kalian. kalian mau mengerjakan?
aku tunggu jawaban kalian. :)
kalau menyerah aku kasih jawaban.
cos 18° = 1/4 . √(10 + 2√5) = 0.95105651629... . sayangnya nggak bisa disederhanakan.
tan 18° lebih rumit lagi. tan 18° = (3√5 -4)√(10 + 2√5)/20 = 0,32491969623...
Tidak ada komentar:
Posting Komentar