ada soal begini:
carilah solusi persamaan berikut: x3 - 27 = 0
dengan mudah soal di atas dapat dijawab. yaitu jawabannya hanya 1 angka, yaitu 3. itu adalah satu-satunya jawaban yang bisa diberikan di soal level SMA. masalahnya kemudian, apakah, jawabannya hanya ada 1, mengingat persamaan di atas adalah persamaan x3. ada sebuah pernyataan yang menyatakan bahwa polinom berderajat xn memiliki maksimal solusi/ akar persamaan sebanyak n. jadi untuk soal di atas semestinya ada 3. lalu bagaimana sebenarnya?
jawaban di atas benar, karena solusi yang dicari di SMA umumnya masih berada pada himpunan bilangan real. jika mencari lebih luas lagi, kedua jawaban lainnya tidak berada di dalam himpunan bilangan real, melainkan bilangan kompleks. caranya sebagai berikut:
setelah ditemukan x1 = 3, maka:
(x3 - 27)/(x-3) = x2 + 3x + 9
persamaan kuadrat di atas memiliki D = -27. jadi tidak memiliki solusi real. solusinya bilangan kompleks. solusinya:
x2 = (-3 + 3√3i)/2
x3 = (-3 - 3√3i)/2
dengan begini terbukti bahwa persamaan x3 - 27 = 0 memiliki 3 solusi dan solusinya 1 real dan 2 bilangan kompleks.
solusi seperti ini berlaku tidak hanya untuk soal x3 - 27 = 0 saja, tapi juga untuk soal persamaan kubik dengan bentuk x3 - a3 = 0. persamaan model begini pasti memiliki solusi x1 = a kemudian:
(x3 -a3 )/(x-a) = x2 + ax + a2
x2 = (-a + a√3i)/2
x3 = (-a - a√3i)/2
jadi terbukti untuk semua x3 - a3 = 0 memiliki 3 solusi. 1 solusi real dan 2 solusi bilangan kompleks. untuk persamaan dengan n > 3, seperti x4 - 16, x4 hingga pola umum xn - an = 0 saya serahkan kepada pembaca sebagai tantangan dari saya. terima kasih.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar