deret artimatika dua ruas

Di dalam buku “trik-trik berhitung” Edward H Julius bagian akhir ada artikel keajaiban 2. Artikelnya seperti ini:
1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

……..
Bagaimana menurut kalian?
Menurutku deret itu sangat menarik dan ajaib. Bagaimana bisa penjumlahan berurut dan penjumlahan berurut setelahnya menghasilkan angka yang sama, padahal angka-angkanya beda? Kalau angka-angkanya sama, pantas saja, tapi angka-angka ini berbeda.
Aku buktikan kebenarannya. Jumlah kedua ruas tiap baris adalah:
3
15
42
Aku jadi ingin membuatnya sendiri. Tapi gimana caranya? Bisakah deret di atas diperluas? Apakah syaratnya? Berapa jumlahnya? Apa buktinya?
Setelah diteliti, deret di atas bias diperluas tapi dengan syarat-syarat tertentu. Jadi nggak sembarangan. Misalnya 7 + 8 + 9 = 10 + 11 + 12. Jelas deret ini salah karena hasil kedua ruas berbeda. Ruas kiri 24 sedangkan ruas kanan adalah 33.
Syarat membuat deret di atas sebagai berikut:
Angka pertama harus angka kuadrat. Misalkan n²
Beda antar suku adalah 1. Jadi harus berurutan.
Banyak suku ruas kiri adalah n+1. Jadi dimulai dari sampai n²+n.
Banyak suku ruas kanan adalah n. dimulai dari n²+ n + 1 sampai n² + 2n atau (n+1)² – 1.
Jadi misalkan mau buat deret dengan n = 9 hasilnya:
81 + 82 + 83 + 84 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 = 91 + 92 + 93 + 94 +95 + 96 + 97 + 98 + 99
Buktinya:

jumlah ruas kiri = 80 x 10 + 55 =855.

Jumlah ruas kanan = 90 x 9 + 45 = 810 + 45 = 855.
Jumlah kedua ruas dirumuskan:
n²+ (n²+1) + (n²+2) + (n²+3) + … + (n² + n) = (n² + n + 1) + (n² + n + 2) + (n² + n + 3) + … + (n² + 2n)
Sekarang pembuktiannya:
Ruas kiri: Sn = n².(n + 1) + n(n + 1)/2 = n(n + 1)(2n + 1)/2
Ruas kanan: Sn = n(n+1).n + n(n + 1)/2 = n(n+1)(2n + 1)/2
Jadi kedua ruas terbukti benar dan sama. Adapun pembuktian dengan 1, k dan k + 1 diserahkan kepada pembaca.
Deret di atas diolah dengan notasi sigma supaya menjadi lebih keren. Hasilnya sebagai berikut: